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起因是临近数学竞赛，在b站找视频刷题，然后发现视频里提供的方法有问题，评论区也没人说，遂作此文档

计算不定积分

过程

第一种方法考虑倒代换，令，

公式

第二种方法考虑根式代换，令，

公式

第三种方法考虑三角代换，令，，

公式

似乎三种方法都没什么问题，但…上述三个解答过程有一个是错误的

下面三张图片依次对应上述三个过程所得到的原函数（）

Image 24

解答

第一个过程中，把 拿到根号里约分的时候，实际上是把 变成了 ，因此所得到的原函数只有 正半轴的函数图像是正确的

而对于以下积分使用倒代换方法时均会出现这样的问题

建议使用三角代换来做，硬要用倒代换来做只能按 大于 /小于 分类讨论了

额外的问题

函数 的图像怎么看起来那么像奇函数啊，能证明吗？

等价于证明 是奇函数

提示

若 ，有

事实上， 是反双曲正弦函数 的表达式