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直角坐标系 对应Lame系数

球坐标系 对应Lame系数

柱坐标系 对应Lame系数

正文

梯度（以下表达式使用爱因斯坦求和约定简化符号表示）：

旋度：$\nabla\times\vec{A}=\dfrac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\begin{vmatrix}h_{1}\vec{e}{1} & h{2}\vec{e}{2} & h{3}\vec{e}{3}\dfrac{\partial}{\partial x{1}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} & \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \h_{1}A_{1} & h_{2}A_{2} & h_{3}A_{3}\end{vmatrix}$

散度：

拉普拉斯算符：

附：拉梅系数的定义

（直接把我矢量微积分系列的内容拿过来了）

考虑直角坐标系 和曲线坐标系

直角坐标系下的弧微分 ，得曲线坐标系下的弧微分

定义拉梅系数为 ，得

以球坐标系 为例：

  • 沿 方向的弧微分：，表示沿径向的方向长度变化
  • 沿 方向的弧微分：，表示 确定的情况下，沿 方向的弧长变化
  • 沿 方向的弧微分：，表示 和 确定的情况下，沿 方向的弧长变化
  • 可以看到 表示的是坐标变化，​ 表示的是对应的是其实际的距离变化，拉梅系数是坐标变化与物理空间量之间的桥梁

在正交曲线坐标系中，拉梅系数的平方构成度规张量的对角元素：