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当时做的时候就感觉是约去了个因子，但是找半天没找到，下来查找参考文献作此文档梳理 ——

求解微分方程

过程

令 ，，有 ，，发现 ，方程为非恰当微分方程

注意到 可以提出来一个 的因子，而剩下一个只含 的表达式

而刚好 也可以提出来一个 的因子，而剩下一个只含 的表达式

因此有

得积分因子

考虑到正负号对方程无影响（可以约掉），取

因此原微分方程可以化为

令 ，，注意到 对 积分略显复杂，而 刚好可以提出一个 ，积分十分简单

因此有

然后让 对 求偏导去对应

省略一些步骤

得 ，，

因此得原微分方程的解为

下面是参考文献里的部分结论的摘抄，其中积分因子 ，值得注意的是，积分因子不是唯一的

结论1

结论2

如果 和 在 内连续且有连续偏导数，且都为同次齐次方程，且满足
，有

结论3

如果 ，，，且满足 ，有

参考例题

  1. ，
  2. ，
  3. ，
  4. ，
  5. ，
  6. ，

本文主要参考恰当方程积分因子通解微分方程论文.doc

其他阅读

  1. 【常微分方程】积分因子法 - 槿灵兮的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/436015309
  2. 积分因子法解微分方程 - Bingyan Liu的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/26661013